Liczba e (liczba Nepera) (2025)

Liczba e

Liczba e pojawiĹa siÄ w matematyce w zupeĹnie innych okolicznoĹciach aniĹźeli bardziej znana liczba pi. W staroĹźytnoĹci nie znano jej, pojawiĹa siÄ dopiero w XVI wieku za sprawÄ szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), ktĂłry uĹoĹźyĹ tablice logarytmĂłw, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyĹlono, aby zamieniÄ mnoĹźenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna wĹasnoĹÄ logarytmĂłw, dziÄki ktĂłrej z pomocÄ tablic lub dwĂłch linijek z logarytmicznÄ skalÄ - moĹźna byĹo dodawaÄ zamiast mnoĹźyÄ, uĹatwiaĹa astronomom Ĺźycie. DziĹ, w epoce komputerĂłw, zastosowanie logarytmĂłw do mnoĹźenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.

LiczbÄ e definiujemy jako granicÄ
$e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Granica ta zbliĹźa siÄ do 2.718281828459045235360287..., liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazaĹ, Ĺźe e jest przestÄpna.

Liczba e nazywana jest takĹźe liczbÄ Napiera (Napera), oznaczenie "e" wprowadziĹ w 1736 roku Leonhard Euler, ktĂłry badaĹ rĂłĹźne liczby i oznaczaĹ je literami alfabetu. Na tÄ liczbÄ wypadĹo akurat e.

LiczbÄ e moĹźna otrzymaÄ takĹźe jako wynik sumy szeregu odwrotnoĹci silni kolejnych liczb naturalnych:
$e = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{(n - 1)!} + \frac{1}{n!}$
Im wiÄksze weĹşmiemy n, tym dokĹadniejsze przybliĹźenie otrzymamy. WzĂłr ten bardzo szybko daje dobre przybliĹźenia, dla n = 10 otrzymujemy dokĹadnÄ wartoĹÄ liczby do piÄtej cyfry po przecinku.

PrzybliĹźonÄ wartoĹÄ liczby e moĹźna obliczyÄ z dowolnÄ dokĹadnoĹciÄ wedĹug wzoru:
$e^{x} = \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{x^{n}}{n!}$
Jest to rozwiniÄcie funkcji wykĹadniczej f(x) = e^x w tzw. szereg Maclaurina
Stosuje siÄ teĹź oznaczenie e^x = exp(x) (wykĹadnik po Ĺacinie to exponens). Funkcja wykĹadnicza f(x) = e^x jako jedyna ma pochodnÄ rĂłwna sobie samej.

Logarytmy naturalne wziÄĹy siÄ stÄd, Ĺźe zostaĹy wymyĹlone jako naturalny sposĂłb zamiany mnoĹźenia w dodawanie. Funkcje logarytmiczne sÄ odwrotne do funkcji wykĹadniczych i wĹaĹnie e jest podstawÄ tej odwrotnej do logarytmu naturalnego funkcji. Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy ln.

WystÄpowanie liczby e

LiczbÄ Napiera moĹźna spotkaÄ w bankowoĹci. InwestujÄc pewnÄ sumÄ pieniÄdzy w banku na p% po roku zwiÄkszamy jej wartoĹÄ i tak dla zainwestowanej 1 zĹotĂłwki mamy $(1 + \frac{p}{100})$ zĹotych. Po n latach wzrasta do ${(1 + \frac{p}{100})}^{n}$ zĹotych. MieliĹmy szczÄĹcie i bankier zaproponowaĹ nam ogromnÄ stopÄ procentowÄ, sto procent. ZainwestowaliĹmy wiÄc wszystkie nasze oszczÄdnoĹci, oznaczmy je przez x. Po roku bÄdziemy bogatsi, podwoimy nasz wkĹad, otrzymamy 2x. Jest jednak moĹźliwoĹÄ otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. JeĹli odbierzemy odsetki po szeĹciu miesiÄcach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy x(1 + 1/2)² = 2,25x. OdbierajÄc odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiÄkszamy nasz zysk, po roku mielibyĹmy x(1 + 1/4)⁴ = 2,441x. MiesiÄczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)¹² = 2,5996x. Potem codziennie - znowu wiÄcej, co minutÄ, sekundÄ - jeszcze wiÄcej, jeszcze trochÄ i bÄdziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty skĹadane mogÄ siÄ mnoĹźyÄ, ale przy koĹcu otrzymamy dokĹadnie wartoĹÄ liczby e czyli okoĹo 2,7182x.

FunkcjÄ wykĹadniczÄ moĹźna odnaleĹşÄ w przyrodzie i w spoĹeczeĹstwie, gdzie odwzorowuje rozwĂłj roĹliny, rozwĂłj danej populacji. OgĂłlnie jeĹli stopieĹ rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcjÄ wykĹadniczÄ.

Liczba e z dokĹadnoĹciÄ do miliona miejsc po przecinku

Liczba e (liczba Nepera) (2025)

Liczba e

References